ベルヌーイの定理の導出

ベルヌーイの定理

流体力学において、流線上の圧力と速度の関係を表す式としてベルヌーイの定理があります。(※以下、数式の描画に時間がかかる場合があります。)

{ \displaystyle \rm \frac{1}{2 }u^2 + \frac {p}{\rho } + gz = const }

(※上記は非圧縮の場合の式で、以下導出でも密度は一定としています。)

ベルヌーイの定理の導出

 非圧縮のオイラー方程式を元に考えます。ここでは、外力としてz方向の一様重力を考えています。

{ \displaystyle \rm \frac{\partial {\bf u}}{\partial t } + ({\bf u} \cdot \nabla) {\bf u} = - \frac {1}{\rho } \nabla p - \nabla (gz) }・・・(1)

 ベクトル解析の式から、以下が成り立つので

{ \displaystyle \rm \frac {1}{2}\nabla ({\bf u} \cdot {\bf u}) = ({\bf u} \cdot \nabla ){\bf u} + {\bf u} \times ( \nabla \times {\bf u})}・・・(2)

(※(2)式の導出は以下URL参照)

ベクトル内積の勾配(∇(A・B))の変換式について - 機械系技術者の雑記帳

(1),(2)より

{ \displaystyle \rm \frac{\partial {\bf u}}{\partial t } + \frac {1}{2}\nabla ({\bf u} \cdot {\bf u}) - {\bf u} \times (\nabla \times {\bf u}) = - \frac {1}{\rho } \nabla p - \nabla (gz) }

整理して、

{ \displaystyle \rm \nabla \bigl( \frac {1}{2} ({\bf u} \cdot {\bf u}) + \frac {1}{\rho } p +gz \bigr) = - \frac{\partial {\bf u}}{\partial t } + {\bf u} \times (\nabla \times {\bf u}) }・・・(3)

ここで、定常 { \displaystyle \rm (\partial {\bf u}/\partial t) = 0 }の流れ場で、流線方向の線積分を地点1、2間で考えると、(3)式より

{ \displaystyle \rm \int_1^2 \Bigl( \nabla \bigl( \frac {1}{2} ({\bf u} \cdot {\bf u}) + \frac {1}{\rho } p +gz \bigr) \Bigr) \cdot {\bf ds} = \int_1^2 \Bigl( {\bf u} \times (\nabla \times {\bf u})\Bigr) \cdot {\bf ds}}・・・(4)

 今、流線方向の線積分を考えているのでds//uが成り立ち

外積の性質から u×(∇×u) ⊥ uも成り立つので

 u×(∇×u) ⊥ ds

したがって、

{ \displaystyle \rm \Bigl( {\bf u} \times (\nabla \times {\bf u})\Bigr) \cdot {\bf ds} =0 }

 つまり、(4)式の右辺=0となるので、(4)式から、

{ \displaystyle \rm \int_1^2 \Bigl( \nabla \bigl( \frac {1}{2} ({\bf u} \cdot {\bf u}) + \frac {1}{\rho } p +gz \bigr) \Bigr) \cdot {\bf ds} = 0}

{ \displaystyle \rm \Bigl[ \frac {1}{2} ({\bf u} \cdot {\bf u}) + \frac {1}{\rho } p +gz \Bigr]_1^2 = 0 } ・・・(5)

ベクトル表示uから流速の大きさuに以下式で置き換えて、

{ \displaystyle \rm \frac {1}{2} ({\bf u} \cdot {\bf u}) = \frac {1}{2} u^2 }

(5)式を書き下すと

{ \displaystyle \rm  \frac {1}{2} {u_1 }^2  + \frac {1}{\rho } p_1  +gz_1  = \frac {1}{2} {u_2 }^2 + \frac {1}{\rho } p_2  +gz_2  } ・・・(6)

(6)式は同一流線上の点ならどこでも成り立つので、

{ \displaystyle \rm  \frac {1}{2} {u }^2  + \frac {1}{\rho } p  +gz  =  const } ・・・(7)

 以上で示されました。

 

補足として、注目する2点が別の流線上の点でも、それぞれが上流等において(7)式の左辺で同じ値を持てば、2点間の値を(6)式によって比較することが出来ます。
左辺の値が一定の面をベルヌーイ面と呼ぶようです。

 

(注)間違っている可能性があるので十分注意してください。

間違いを見つけた方はご指摘頂けると大変ありがたいです。m(_ _)m