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ベクトル内積の勾配(∇(A・B))の変換式について

ベクトル内積の勾配の式

ベクトルの内積の勾配の変換式として以下のような公式があります。

{ \displaystyle \rm \nabla ({\bf A} \cdot {\bf B}) = ({\bf B} \cdot \nabla ) {\bf A} + ({\bf A} \cdot \nabla ){\bf B} + {\bf A} \times ( \nabla \times {\bf B} ) + {\bf B} \times ( \nabla \times {\bf A}) } 

 

導出

左辺の成分と右辺の成分が一致することを示していきます。

総和規約、クロネッカーのデルタ、エディントンのイプシロンを使っているので、よく分からない方は、例えばx方向成分等について書き下してみてください。

 

・左辺のi成分

{ \displaystyle \rm \bigl(\nabla ({\bf A} \cdot {\bf B} ) \bigr)_i = \frac {\partial }{\partial x_i}(A_j B_j ) = A_j \frac {\partial B_j }{\partial x_i} + B_j \frac {\partial A_j }{\partial x_i} } ・・・(1)

 

・右辺のi成分

{ \displaystyle \rm \bigl( ({\bf B} \cdot \nabla ) {\bf A} + ({\bf A} \cdot \nabla ) {\bf B} + {\bf A} \times ( \nabla \times {\bf B} ) + {\bf B} \times (\nabla \times {\bf A})\bigr)_i }

{ \displaystyle \rm = B_j \frac {\partial A_i }{\partial x_j} + A_j \frac {\partial B_i}{\partial x_j} + e_{ijk} A_j (e_{klm } \frac {\partial B_m}{\partial x_l} ) + e_{ijk} B_j (e_{klm } \frac {\partial A_m}{\partial x_l} )}

(ここで、{ \displaystyle \rm e_{klm} = e_{lmk}, e_{ijk}e_{lmk} = \delta _{il}\delta _{jm} - \delta _{im}\delta _{jl}} より)

{ \displaystyle \rm = B_j \frac {\partial A_i }{\partial x_j} + A_j \frac {\partial B_i}{\partial x_j} + (\delta _{il}\delta _{jm} - \delta _{im}\delta _{jl}) A_j \frac {\partial B_m}{\partial x_l} + (\delta _{il}\delta _{jm} - \delta _{im}\delta _{jl}) B_j \frac {\partial A_m}{\partial x_l} }

{ \displaystyle \rm = B_j \frac {\partial A_i }{\partial x_j} + A_j \frac {\partial B_i}{\partial x_j} + ( A_j \frac {\partial B_j}{\partial x_i} -A_j \frac {\partial B_i}{\partial x_j}) + (B_j \frac {\partial A_j}{\partial x_i} - B_j \frac {\partial A_i}{\partial x_j}) }

{ \displaystyle \rm = A_j \frac {\partial B_j}{\partial x_i} + B_j \frac {\partial A_j}{\partial x_i} }・・・(2)

 

(1),(2)は同じ式になっているので、

左辺i成分 = 右辺i成分

以上より示されました。

 

(注)間違っている可能性があるので注意してください。間違いを見つけたら教えて頂けるとありがたいです。m(_ _)m

 

{ \displaystyle \rm A_j \frac {\partial B_j}{\partial x_i} }

上記の式が∇等を使ったベクトル表記で書ければ、ベクトル表記のままで導出も書けそうですが、どう書いていいか分からないです。orz

 

 少し独特ですが、以下ときわ台学のページでベクトル表記での導出が書いてあります。(公式2 [分配法則] (1))

ときわ台学/ベクトル解析/ベクトルの微分と公式

ベクトル表記で書ければ見通しは良いですよね。

 

ベルヌーイの定理の導出で使われる変換について

{ \displaystyle \rm \nabla ({\bf A} \cdot {\bf B}) = ({\bf B} \cdot \nabla ){\bf A} + ({\bf A} \cdot \nabla ){\bf B} + {\bf A} \times ( \nabla \times {\bf B}) + {\bf B} \times ( \nabla \times {\bf A}) }

{ \displaystyle \rm {\bf A}= {\bf u}, {\bf B}={\bf u} }とすれば、

{ \displaystyle \rm \nabla ({\bf u} \cdot {\bf u}) = ({\bf u} \cdot \nabla ){\bf u} + ({\bf u} \cdot \nabla ){\bf u} + {\bf u} \times ( \nabla \times {\bf u}) + {\bf u} \times ( \nabla \times {\bf u}) }

両辺を2で割って整理すれば、

{ \displaystyle \rm \frac {1}{2}\nabla ({\bf u} \cdot {\bf u}) = ({\bf u} \cdot \nabla ){\bf u} + {\bf u} \times ( \nabla \times {\bf u})}

右辺の第一項がオイラー方程式の移流項と同じになっているので、代入して使われることがあります。

 

普通のベクトル三重積の公式、

{ \displaystyle \rm {\bf B} ({\bf A} \cdot {\bf C} )  =  ({\bf A} \cdot {\bf B} ) {\bf C} +{\bf A} \times ( {\bf B} \times {\bf C} ) }

と最終的な形が似ていながら微妙に違うので、「そのまま使えるのかも?」と思って間違えやすい気がしますね。私は間違えました。

 

ベクトル解析の恒等式は以下Wikipediaのページに色々書いてあります。

Vector calculus identities - Wikipedia